Das Problem ist, dass Chrome numerische Werte im $_FILES-Array benötigt.

Die Lösung ist dementsprechend einfach. Statt

<form action="index.php" method="post" enctype="multipart/form-data">
<label for="file">Datei:</label><br />
<input type="file" name="file" id="file"/><br />
<input type="submit" value="Upload" />
</form>

Muss man das Formular zu

<form action="index.php" method="post" enctype="multipart/form-data">
<label for="file">Datei:</label><br />
<input type="file" name="file[]" id="file"/><br />
<input type="submit" value="Upload" />
</form>

abändern und im PHP-Code noch statt auf

$_FILES['file']['tmp_name']

auf

$_FILES['file']['tmp_name'][0]

zugreifen.